Question

已知关于x的方程mx²+(3m+1)x+3=0（m≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于的二次函数y= mx²+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer

（1）证明略；（2）m=1；（3）1＜b＜3，b＞．

【解析】

试题分析：（1）求出根的判别式总是非负数即可；

（2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m即可；

（3）先求出A、B的坐标，再根据图像得到b的取值范围．

试题解析：（1）证明：∵m≠0，∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程.

∴△=(3m+1)2－12m =(3m－1)2． ∵ (3m－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根.

（2）【解析】
由求根公式，得x1=－3，x2=．

∵方程的两个根都是整数，且m为正整数， ∴m=1．

（3）【解析】
∵m=1时，∴y=x2+4x+3．

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3． 当直线y=x+b经过B点时，可得b=1． ∴1＜b＜3．

当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3，

∴x2+5x+3+b=0， ∴△=52－4(3+b) =0，∴b=．∴b＞．

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞．

考点：根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.