Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．

（1）求证：∠CBF=∠CAB．  （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer

（1）证明略；（2）BC=，BF=.

【解析】

试题分析：（1）连结AE.有AB是⊙O的直径可得∠AEB=90°再有BF是⊙O的切线可得BF⊥AB，利用同角的余角相等即可证明；

（2）在Rt△ABE中有三角函数可以求出BE，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CG⊥AB于点G.可求出AE,再在Rt△ABE中，求出sin∠2，cos∠2.然后再在Rt△CGB中求出CG，最后证出△AGC∽△ABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

（1）证明：连结AE.∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.

∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.

∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴∠1=∠CAB.

∴∠CBF=∠CAB.

（2）【解析】
过点C作CG⊥AB于点G.∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=.

∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin∠1=.

∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=.

在Rt△ABE中，由勾股定理得.

∴sin∠2=，cos∠2=.

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.

∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF. ∴，

∴.

考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.