Question

(本题12分)如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．

Answer

（1）AB//CD，理由见解析；

∠BAE+ ∠MCD=90°；理由见解析；

①∠BAC=∠PQC+∠QPC；

②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.

【解析】

试题分析：（1）由CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，由已知可得∠BAC+∠ACD=180，从而可得AB∥CD；

过点E作EF//AB，利用两直线平行，内错角相等可得到关系；

利用两直线平行、同旁内角互补或内错角相等以及三角形内角和定理即可得到.

试题解析：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，

∵∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180，

∴AB∥CD；

（2）∠BAE+ ∠MCD=90°；

过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，

∵∠MCE=∠ECD，

∴∠BAE+ ∠MCD=90°；

（3）①∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，

∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；

②∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACQ

∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，

∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°

考点：1、平行线的判定和性质；2、三角形内角和定理.