Question

（7分）如图中，以为圆心，为半径作⊙，作交⊙于点B，垂足为点，连接AB交于点D,.

（1）求证：AC是⊙的切线；

（2）若=5，=1，求线段AC的长.

Answer

（1）证明略；（2）AC=12.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知，∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以线段AC是⊙O的切线；

（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度．

试题解析：【解析】
（1）线段AC是⊙O的切线；

理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），

∴∠BDO=∠CAD（等量代换）；

又∵OA=OB（⊙O的半径），

∴∠B=∠OAB（等边对等角）；

∵OB⊥OC（已知），

∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，

∴线段AC是⊙O的切线；

（2）设AC=x（x＞0）．

∵∠CAD=∠CDA（已知），

∴DC=AC=x（等角对等边）；

∵OA=5，OD=1，

∴OC=OD+DC=1+x；

∵由（1）知，AC是⊙O的切线，

∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，

OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，

解得x=12，即AC=12．

考点：1、勾股定理；2、切线的判定和性质.