Question

如图，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，动点 E (与点 A ， C 不重合)在 AC 边上， EF ∥ AB 交 BC 于 F 点．（12分）

（1）当△ ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长；

（2）当△ ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长；

（3）试问在 AB 上是否存在点 P ，使得△ EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出 EF 的长．

Answer

（1）2；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；

（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；

（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．

试题解析：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等

∴S△ECF：S△ACB=1：2

又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB

∵AC=4，

∴CE=2；

（2）设CE的长为x

∵△ECF∽△ACB

∴

∴CF=

由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，

得x+EF+=（4-x）+5+（3-）+EF

解得x=

∴CE的长为；

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF

由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°

∴Rt△ACB斜边AB上高CD=

设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

即

解得x=，

即EF=

当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF=；

②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为EF

设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

，

即

解得x=，

即EF=.

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=或EF=.

考点：相似三角形的判定与性质．