Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E．

（1）若AB=AD+2BE，求证：BC=DC；

（2）若∠B=60°，AC=7，AD=6，，求AB的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）8．

【解析】

试题分析：：（1）在AB上取点F，使得EF=BE，然后根据已知条件可以推出△AFC≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可证明结论；

（2）根据和AC=7，AD=6可以求出∠DAC的正弦值，而AC平分∠DAB，由此可以利用三角函数求出CE，再利用勾股定理即可求出AE、BE，最后求出AB．

试题解析：（1）证明：如图，在AB上取点F，使得EF=BE，

∵CE⊥AB，

∴FC=BC，

∵AB=AD+2BE，而AB=AF+2BE，

∴AD=AF．

在△AFC和△ADC中，

AD=AF，∠CAF=∠CAD，AC=AC，

∴△AFC≌△ADC．

∴DC=FC．

∴BC=DC．

（2）【解析】
在△ADC中，∵S△ADC=×6×7sin∠DAC=，

∴sin∠DAC=，

而AC平分∠DAB．

∴．

∴CE=．

∴AE=．

∴BE=．

∴AB=AE+EB=8．

考点：1.解直角三角形；2.全等三角形的判定；3.勾股定理．