Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是第二象限的抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？最大面积是多少？

（3）当（2）中点P运动到△PAB的面积最大时，x轴上是否存在点D，使△PDB的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在。请说明理由。

Answer

（1）抛物线解析式为y=-x2-3x+4．C（1，0）．（2）P（-2，6），8；（3）点D的坐标为（-，0）．

【解析】

试题分析：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c，可得出抛物线解析式，当y=0时即可得出点C的坐标．

（2）设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时，△PAB的面积最大，利用判别式求出b的值，再联立可得出点P的坐标，过点B作BM⊥PN交PN于点M，利用三角函数求出BM，再利用△PAB的面积公式即可求出答案．

（3）连接BP，作点B关于原点O的对称点B′，连接B′P，交x轴于点D，这时△PDB的周长最小．先求出点B′的坐标，再利用坐标求出PB′所在的直线，即可求出与x轴的交点D的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（-4，0），B（0，4）抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，可得

，

解得，

∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4．

令y=0，得-x2-3x+4=0，

解得x1=-4，x2=1，

∴C（1，0）．

（2）如图1，

设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时，△PAB的面积最大，

∵由x+b=-x2-3x+4化简x2+4x+b-4只有一个解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．

∴y=x+8，

∴联立得方程组得，

解得，

∴P（-2，6）

过点B作BM⊥PN交PN于点M，

∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=，

∴BM=4×=2，

△PAB的面积=AB•BM=×4×2=8．

（3）存在．

如图2，

连接BP，作点B关于原点O的对称点B′，连接B′P，交x轴于点D，这时△PDB的周长最小．

∵点B（0，4），

∴点B′（0，-4），

∵P（-2，6）

∴设PB′所在的直线为y=kx+b得

，

解得

∴PB′所在的直线为y=-5x-4，

点D的坐标为（-，0）．

考点：二次函数综合题．