Question

如 图，△ACB和△E CD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．

Answer

(1)证明见解析；（2）垂直，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据SAS判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．

（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可．

试题解析：（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，

在△ACE和△BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）【解析】
直线AE与BD互相垂直，理由为：

证明：∵△ACE≌△BCD，

∴∠EAC=∠DBC，

又∵∠DBC+∠CDB=90°，

∴∠EAC+∠CDB=90°，

∴∠AFD=90°，

∴AF⊥BD，

即直线AE与BD互相垂直．

考点：1.勾股定理的逆定理；2.直角三角形全等的判定．