Question

（12分）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E .

（1）求点E的坐标；

（2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式；

（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.

Answer

（1）（4，0）；（2）；（3）当 时， .

【解析】

试题分析：（1）应用锐角三角函数求出点A的坐标，而后求出一次函数解析式，求出直线与x轴的交点E的坐标；

（2）应用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值，得到二次函数解析式；

（3）设点，根据用点P的坐标表示面积，整理得到S=，即当 时， .

试题解析：【解析】
（1）作AF⊥x轴与F，

∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=，

∴点A（1，），

代入直线解析式，得，∴m=，

∴ ，

当y=0时，，

得x=4，

∴点E（4，0）；

（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为，

∵抛物线过原点，

∴c=0，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为；

（3）作PG⊥x轴于G，设，

，

，

，

，

当 时， .

考点：1、一次函数的应用；2、二次函数综合题.