Question

（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.

Answer

（1）详见解析；（2） .

【解析】

试题分析：（1）证得OD⊥DE，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；

（2）由OD//AE，得到，通过转换得到，解得FC的长，进而求得AF的长，应用锐角三角函数求出cosA的值.

试题解析：【解析】
（1）证明：连结AD、OD，

∵AC是直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴D是BC的中点，

又∵O是AC的中点

∴OD//AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知OD//AE，

∴，

∴ ，

∴，

解得FC=2，

∴AF=6，

∴cosA=.

考点：1、切线的判定；2、平行线分线段成比例定理；3、锐角三角函数.