Question

如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC

（1）求证：四边形ABCD是菱形。

（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积。

（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B  出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止。若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？

Answer

（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；

（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；

（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．

试题解析：（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵AB=AD，∴▱ABCD是菱形；

（2）【解析】
解方程x2-7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB==5，

S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．

（3）【解析】
在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，

当点M在OA上时，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；

解得x1=，x2=（大于2，舍去）；

当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，

解得x1=x2=；

当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；

解得x1=，x2=（小于3，舍去）．

综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．

考点：1.菱形的判定；2.一元二次方程的应用；3.等腰三角形的性质．