Question

（本题满分12分）（1）.如图①，已知AB∥CD，求证：∠A+∠C=∠E

（2）直接写出当点E的位置分别如图②、图③、图④的情形时∠A、∠C、∠E之间的关系.

②中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为              ；

③中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为              ；

④中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为              ；

（3）在（2）中的3中情形中任选一种进行证明.

Answer

（1）详见解析；（2）②中：∠C+∠A=∠E；③中：∠C=∠A+∠E；④中：∠A=∠C+∠E.

【解析】

试题分析：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得∠1=∠A，∠2=∠C，进而证得∠A+∠C =∠1+∠2=∠E；

（2）应用（1）中的结论即可得到各角之间的关系式；

（3）连接AC并延长，由∠1是△AEC的外角，得到∠1=∠E+∠EAC，等量代换即可.

试题解析：（1）证明：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠A，∠2=∠C，

∴∠A+∠C =∠1+∠2=∠E.

(2) ②中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠C+∠A=∠E，

③中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠C=∠A+∠E，

④中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠A=∠C+∠E；

(3)如果选情形②，

证明：连接AC并延长，

∵∠1是△AEC的外角，

∴∠1=∠E+∠EAC，

∴∠1+∠2=∠E+∠EAC+∠3，

∴∠C=∠E+∠A.

考点：1、平行线的性质；2、外角的性质.