Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer

（1）二次函数的解析式为：y=x2-2x或y=x2+2x；（2）C（0，3）、D（2，-1）；（3）P（，0）．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；

（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．

试题解析：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y=x2-2mx+m2-1，得出：m2-1=0，

解得：m=±1，

∴二次函数的解析式为：y=x2-2x或y=x2+2x；

（2）∵m=2，

∴二次函数y=x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴抛物线的顶点为：D（2，-1），

当x=0时，y=3，

∴C点坐标为：（0，3），

∴C（0，3）、D（2，-1）；

（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，

∴，

∴，

解得：PO=，

∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．

考点：二次函数综合题．