Question

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．

（1）求证：MN是半圆的切线．

（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，则∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根据切线的判定即可得到结论；

（2）连AD，根据圆周角定理推论得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，则∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用对顶角相等易得∠1=∠2，则有FD=FG．

试题解析：（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

而∠MAC=∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，

∴MN是半圆的切线；

（2）【解析】
如图

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

而DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，

∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，

∴∠3=∠5，

∴∠1=∠4，

而∠2=∠4，

∴∠1=∠2，

∴FD=FG．

考点：1．切线的判定；2．圆周角定理．