Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？

（2）当Rt△ABC的斜边a=，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）k=3．

【解析】

试题分析：（1）根据根的判别式的符号来证明；

（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2-2bc=（）2，由此可以求得k的值．

试题解析：（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×1×（4k-3）=4k2-12k+13=（2k-3）2+4，

∴无论k取什么实数值，总有=（2k-3）2+4＞0，即△＞0，

∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2-（2k+1）x+4k-3=0的两个根，得

∴b+c=2k+1，bc=4k-3，

又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得

b2+c2=a2，

∴（b+c）2-2bc=（）2，即（2k+1）2-2（4k-3）=31，

整理后，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3，

当k=-2时，b+c=-4+1=-3＜0，不符合题意，舍去，当k=3时，b+c=2×3+1=7，符合题意，故k=3．

考点：根的判别式．