Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）矩形．理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF；

（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论．

试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，

∴∠BEO=∠DFO=90°，

∵点O是EF的中点，

∴OE=OF，

又∵∠DOF=∠BOE，

∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）【解析】
四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵△BOE≌△DOF，

∴OB=OD，

又∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵OA=BD，OA=AC，

∴BD=AC，

∴▱ABCD是矩形．

考点：1．矩形的判定；2．全等三角形的判定与性质．