Question

（1）观察发现

如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

   如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为  ．

（2）实践运用

   如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．

  （3）拓展延伸

如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使△PMN的周长最小，保留作图痕迹，不写作法．

Answer

（1） ；（2） ；（3）作图见解析.

【解析】

试题分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；

（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；

（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．

试题解析：（1）观察发现

如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，

∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点

∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，

∴CE=BE=；

（2）实践运用

如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，

∵BE⊥CD，

∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，

∵的度数为60°，点B是的中点，

∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，

∴∠EOC=30°，

∴∠AOE=60°+30°=90°，

∵OA=OE=1，

∴AE=OA=，

∵AE的长就是BP+AP的最小值．

故答案为；

（3）拓展延伸:如图（4）．

考点：1.圆的综合题；2.轴对称-最短路线问题．