Question

已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；

（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=-x²+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） 二次函数解析式为y=-x2+x+4；（2） P（2，0）时，GC的最大值是1；（3） 存在点Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质求出点A的坐标，然后把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c，即可得解；

（2）表示出PO、PC，再根据同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG相似，再根据相似三角形对应边成比例列式表示出GC，然后根据二次函数的最值问题解答；

（3）求出∠OAP=∠COD，再利用“角边角”证明△AOP和△OCD全等，根据全等三角形对应边相等可得OP=CD，再求出PC，从而得到点D的坐标，然后分①点Q在直线BC的右边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值，②点Q在直线BC的左边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点Q的坐标，再代入二次函数解析式计算即可求出t值．

试题解析：（1）∵B（4，4），

∴AB=BC=4，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=4，

∴A（0，4），

将点A（0，4），B（4，4）代入y=-x2+bx+c得

，

解得．

∴二次函数解析式为y=-x2+x+4；

（2）∵P（t，0），

∴OP=t，PC=4-t，

∵AP⊥PG，

∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，

∵∠OAP+∠APO=90°，

∴∠OAP=∠CPG，

又∵∠AOP=∠PCG=90°，

∴△AOP∽△PCG，

∴，

即，

整理得，GC=-（t-2）2+1，

∴当t=2时，GC有最大值是1，

即P（2，0）时，GC的最大值是1；

（3）存在点Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．

理由如下：如图1、2，易得∠OAP=∠COD，

在△AOP和△OCD中，

，

∴△AOP≌△OCD（ASA），

∴OP=CD，

由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，

∵P（t，0），D（4，t），

∴PC=DQ=|t-4|，

∴点Q的坐标为（t，t）或（8-t，t），

①当Q（t，t）时，-t2+t+4=t，

整理得，t2+t-24=0，

解得t1=4（舍去），t2=-6，

②当Q（8-t，t）时，-（8-t）2+（8-t）+4=t，

整理得，t2-6t+8=0，

解得t1=2，t2=4（舍去），

综上所述，存在点Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．

考点：二次函数综合题．