Question

如图，已知⊙O上A、B、C三点，∠BAC=30°，D是OB延长线上的点，∠BDC=30°，⊙O半径为．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）如果AC∥BD，证明四边形ACDB是平行四边形，并求其周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；2+2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由于∠A=30°，利用圆周角定理可知∠BOC=60°，而∠BDC=30°，利用三角形内角和定理可求∠DCO=90°，从而可证CD是⊙的切线；

（2）由于AC∥BD，那么∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，等量代换可得∠ABO=∠BDC，根据平行线的判定可知AB∥CD，于是可证四边形ABDC是平行四边形，在Rt△OCD中，由于∠BDC=30°，OC=，可知OD=2OC=2，易求BD=，再利用特殊三角函数值可求CD=，进而可求平行四边形ABCD的周长．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图

∵∠A=30°，

∴∠BOC=60°

又∵∠BDC=30°，

∴∠DCO=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）证明：∵AC∥BD，

∴∠ABO=∠BAC=30°，

又∵∠BDC=30°，

∴∠ABO=∠BDC，

∴AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

在Rt△CDO中，

∵∠BDC=30°，OC=，

∴OD=2OC=2，CD=OC=，

∴DB=OD-OB=，

∴平行四边形ABDC的周长=2（DB+DC）=2（+）=2+2．

考点：1．切线的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．