Question

如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为          

Answer

．

【解析】

试题分析：根据折叠的性质可得，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BCD+∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠BCD+∠CBD，从而得到∠BAC=∠ADC，根据等角对等边可得AC=CD，过点C作CE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE=AD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

试题解析：∵弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，

∴，

∴∠BAC=∠BCD+∠CBD，

在△BCD中，∠ADC=∠BCD+∠CBD，

∴∠BAC=∠ADC，

∴AC=CD，

过点C作CE⊥AD于E，

则AE=DE=AD=×4=2，

∴BE=BD+DE=8+2=10，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，

∵∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°，

∴∠CAE=∠BCE，

又∵∠AEC=∠BEC=90°，

∴△ACE∽△CBE，

∴，

∴CE=，

在Rt△BCE中，BC==．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．