Question

（本题满分12分）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN＝2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN＝90°．设点M的横坐标为m．

（1）当点C在这条抛物线上时，求m的值．

（2）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．

①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．

②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，求m的值．

Answer

（1）；（2）①（ ，－2）；② 或 或 或．

【解析】

试题分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入，即可求出m的值；

（2）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，然后根据点D在直线上，即可求出点D的坐标；

②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．

试题解析：（1）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴，解得，．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；

（2）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线的对称轴为直线，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；

②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线的对称轴直线上，∴，解得；

如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线的对称轴直线上，∴，解得；

如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线的对称轴直线上，∴；

如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线的对称轴直线上，∴，解得；

综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为 或 或 或．

考点：二次函数综合题．