Question

如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止．

（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；

（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；

（3）如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．

（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外．）

Answer

（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．

【解析】

试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．

（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．

（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．

试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（-1，-3）．

将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，

解得 b=，c=-3，

∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．

（2）设lBC：y=kx+b，

∵B（-2，0），C（-1，-3），

∴，

解得 ，

∴lBC：y=-3x-6，

设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），

∵xM=xN（记为x），yM≥yN，

∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），

∴当x=-时，线段MN长度为最大值．

（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．

分析如下：

如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB==，

∴BC=，

∴BQ=CQ=，

∵∠BAC=90°，

∴点B、A、C都在⊙Q上．

①P在抛物线外，

如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D

∵BC为直径，

∴∠BPC=90°

∵BD′与y轴平行

∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点

∴PD∥x轴

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP=AP．

②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，

∵AC=AB=，

∴AP=，

∵BP+CP=BC=，

∴BP+CP=AP．

③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，

如图4，在PC上取BP=PT，

∵BC为直径，

∴∠BPC=90°

∴△BPT为等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+PA=PB+PA

∴PC-PB=PA

同理，如图5，也可得PB-PC=PA．

考点：二次函数综合题．