Question

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：

①2a-b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．

其中正确的结论是           

Answer

③④．

【解析】

试题分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

试题解析：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，

∴AB=4，

∴对称轴x=-=1，

即2a+b=0．

故①错误；

②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．

故②错误；

③∵A点坐标为（-1，0），

∴a-b+c=0，而b=-2a，

∴a+2a+c=0，即c=-3a．

故③正确；

④当a=，则b=-1，c=-，

对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-，

把x=1代入得y=-1-=-2，

∴D点坐标为（1，-2），

∴AE=2，BE=2，DE=2，

∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，

∴△ADB为等腰直角三角形．

故④正确；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

当AB=BC=4时，

∵AO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16-9=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=-，

与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AB=AC=4时

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16-1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=-

与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AC=BC时

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．

故⑤错误．

综上所述，正确的结论是③④．

考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定．