Question

如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E.

（1）求证：∠A=∠F；

（2）△CDE与△FDC是否相似？并给予证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，再根据DF⊥AB，得∠B+∠F=90°，则∠A=∠F；

（2）根据直角三角形的性质得，AD=CD，则∠A=∠DCE，再由外角的性质即可得出∠CED=∠FCD，则△CDE∽△FDC．

试题解析：（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，

∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，

即∠B+∠F=90°，

∴∠A=∠F；

（2）【解析】
△CDE∽△FDC．

理由是：∵CD是斜边AB上的中线，

∴AD=CD，

∴∠A=∠DCE，

∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF，

∴∠CED=∠FCD，

∴△CDE∽△FDC．

考点：相似三角形的判定．