Question

（11分）已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，其中点B在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OB=2，OC=8，抛物线的对称轴是直线．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2），（0＜m＜8）；（3）当m＝4时，S有最大值，．此时，点E的坐标为（—2，0）， △BCE是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）先根据线段OB、OC的长，得到点B、C两点坐标，根据抛物线的对称性可得点A坐标；把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式；

（2）利用A、B、C三点坐标得出AB，CO的长，即可得出△ABC的面积；易得，只需利用平行得到三角形相似，求得EF长，进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；

（3）利用二次函数求出最值，进而求得点E坐标．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．

试题解析：（1）∵点B在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OB=2，OC=8，∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）． 又∵抛物线的对称轴是直线，∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）．∵点C（0，8）在抛物线的图象上，∴c ＝8，将A（－6，0）、B（2，0）分别代入，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为；

（2）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，由勾股定理得AC＝10，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴，即，∴EF＝．过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．∴．∴FG＝，

∴S===，自变量m的取值范围是0＜m＜8；

（3）存在．理由如下：

∵且，∴当m=4时，S有最大值，，

∵m=4，∴点E的坐标为（﹣2，0），∴△BCE为等腰三角形．

考点：二次函数综合题．