Question

已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD，

（1）如图1，∠BAC=，直接写出∠ADB的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，如果BAC=60°，求证：BD+CD=AD；

（3）如图3，如果BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明．

Answer

（1）∠ADB=90°－；（2）证明见试题解析；（3），证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）由AB=AC，得到∠ABC=∠ACB，即可表示出∠ACB=90°－，再由∠ACB=∠ADB得出结论；

（2）延长BD到E，使得DE=DC，可以得到△ABC是等边三角形，再由圆内接四边形的性质，可得到∠BAC=∠EDC=60°，从而有△DCE是等边三角形，由△ACD≌△BCE，得到BE=AD，从而可以得到AD=BD+CD；

（3），延长DB到E，使得BE=DC，连接AE，过点A作AF⊥BD于点F，由等腰三角形的性质和由圆内接四边形的性质，得到∠EBA=∠DCA，故有△EBA≌△DCA，得到∠E=∠1， AE=AD，在Rt△ADF中，解直角三角形可得到，从而有．

试题解析：

（1）∠ADB=90°－；

（2）延长BD到E，使得DE=DC，∵BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAC+∠BDC=180°，∵∠BDC+∠EDC=180°，∴∠BAC=∠EDC=60°，∵DC=DE，∴△DCE是等边三角形，∴∠DCE=60° ，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∵BE=BD+DE，∴AD=BD+CD；

（3），证明如下：

延长DB到E，使得BE=DC，连接AE，过点A作AF⊥BD于点F，∵AB=AC ，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DBA+∠ACD=180°，∵∠EBA+∠DBA =180°，∴∠EBA=∠DCA，∵BE=CD，AB=AC，∴△EBA≌△DCA，∴∠E=∠1，∴AE=AD，在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴，∵∠1=90°-=30°，，∴，∴，∵ BE=BD+CD，∴．

考点：圆的综合题．