Question

已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数．

（1）求的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；

（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围．

Answer

（1）1，2，3；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由△≥0得到k的正整数解；

（2）把（1）中求出的k值代入原方程，结合方程有两个非零的整数根，得到k的值，再根据平移规律，得到结论；

（3）根据题意得到直线经过点（-3，-5），（2，0），求出k的值，画出图象，根据图象得出结论．

试题解析：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，∴，∴，∴，∵为正整数，∴的值是1，2，3；

（2）方程有两个非零的整数根，

当时，，不合题意，舍，

当时，，不合题意，舍，

当时，，，∴，∴，∴平移后的图象的表达式；

（3）令y =0，，∴，∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），∴A（-4，0），B（2，0），∵直线l：经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于．令，即．解得 ，（不合题意，舍去）．∴抛物线经过点．当直线经过点（-3，-5），（2，0）时，可求得，由图象可知，当时新函数的最小值大于．

考点：二次函数综合题．