Question

如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）CF=5，cos∠A =，求BE的长．[来~源#：*中&教网%]

Answer

（1）证明见试题解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；

（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到cos∠FOD=，设⊙O的半径为x，解方程，求出，解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cos∠A=，求出，然后由BE=AB﹣AE即可求解．

试题解析：（1）连接CD，∵AO=CO，CD=BD，∴OD //AB，∴∠ODE=∠DEB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥BC，∴直线EF是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，则OC=OA=OD，∵OD //AB，∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B =∠OCD，∴AC=BC=2x，在Rt△ODF中，∠ODF=90°，∴cos∠FOD=cos∠A=，∴，∴，在Rt△AEF中，∠FEA=90°，∴cos∠A =，∴，∴，∴BE=2．

考点：1．切线的判定；2．解直角三角形．