Question

如图1，对于平面上不大于的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为．

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足5，点P运动形成的图形记为图形G．

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是         ，图形G与坐标轴围成图形的面积等于         ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知，，求的值；

（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q 的坐标．

Answer

（1）（5，0），；（2）；（3）Q ．

【解析】

试题分析：（1）点的坐标满足，0≤x≤5，0≤y≤5均可，根据题意求出图形G与坐标轴围成图形的面积；

（2）如图1，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．可求得直线OB对应的函数关系式，从而得到点D的坐标，算出DM、OB的长，求出sin∠AOB的值，sin∠MDE的值，从而得到 ME的长，得到的值；

（3）由 抛物线经过，两点，可以求出抛物线对应的函数关系式，如图2，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N，设点Q的坐标为，其中3≤m≤5，则，同（2）得sin∠QNG=sin∠AOB= ，故 点N的坐标为，NQ=，得到 QG，从而得到的解析式，配方即可得出当（在3≤m≤5范围内）时，取得最大值（），此时点Q的坐标为．

试题解析：【解析】
（1）满足条件的其中一个点P的坐标是；

（说明：点的坐标满足，0≤x≤5，0≤y≤5均可）

图形G与坐标轴围成图形的面积等于．

（2）如图1，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．由点B的坐标为，可求得直线OB对应的函数关系式为，∴ 点D的坐标为，，∴ OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，∴ ME=DM•sin∠MDE=，∴ ；

（3）∵ 抛物线经过，两点，∴， 解得， ∴ 抛物线对应的函数关系式为，如图2，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N，设点Q的坐标为，其中3≤m≤5，则，同（2）得sin∠QNG=sin∠AOB= ，∴ 点N的坐标为，NQ=，∴ QG=NQsin∠QNG=，∴=QG+QH= ，

∴ 当（在3≤m≤5范围内）时，取得最大值（），此时点Q的坐标为．

考点：1．新定义；2．二次函数的应用．