Question

如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）．

（1）①∠QBC=      ；

② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q到直线l的距离等于      ；

（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为，．在图2中画出此时的线段及△，并直接写出相应m的值；

（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．

Answer

（1）①90°；②；（2）作图见试题解析，；（3）或或．

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质，得到∠QBC=∠PAC=90°；

②过Q作QM⊥l于点M，延长AB交MQ于点N，过点N作NO⊥BQ于点O，可以得到∠NBQ=∠NQB=30°，得到NB=NQ，解直角三角形BNO得到NB=NQ=，得到AN=，在△AMN中，得到MN的值，从而得到MQ的长；

（2）所画图形如图．由∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，得到∠Q0AB=30°，同理有∠Q0BA=30°，得到Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，由于 Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，故△Q0BC≌△Q0AC，得到∠Q0CB=∠Q0CA=30°，从而计算出Q0B的长；

（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F，可以求出 QF=，要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况：

①如图2，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的下方．得到 DQ=DF-QF=．根据三角形面积公式有：．解方程可以得到m的值；

②如图3，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的上方．此时DQ=QF-DF= ．根据三角形面积公式有：．．解方程可以得到m的值．

试题解析：【解析】
（1）①由旋转的性质，得到△QBC≌△PAC，∠QBC=∠PAC=90°；

②过Q作QM⊥l于点M，延长AB交MQ于点N，过点N作NO⊥BQ于点O，如图，∵∠BAC=60°，∠CAP=90°，∴∠PAB=30°，∠ANM=60°，∵∠CBQ=90°，，∠ABC=60°，∴∠NBQ=30°，∴∠NQB=30°，∴NB=NQ，∵BQ=AM=3，∴BO=，∴NO=，∴NB=NQ=，∵AB=4，∴AN=，∴MN=AN=，∴MQ=MN+NQ=．故当 m=3时，点Q到直线l的距离等于；

（2）所画图形如图．∵∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，∴∠Q0AB=30°，同理可得：∠Q0BA=30°，∴Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，∵ Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，∴△Q0BC≌△Q0AC，∴∠Q0CB=∠Q0CA=30°，∵BC=4，∴Q0B=；

（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F，∵ CA⊥直线l，∴ ∠CAP=90，易证四边形ADFG为矩形，∵ 等边三角形ABC的边长为4，∴ ∠ACB=60，DF=AG=CG=AC=2，∠CBG=∠CBA=30°，∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，∴ △ACP≌△BCQ．∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90．∴ ∠QBF=60．在Rt△QBF中，∠QFB=90，∠QBF=60，BQ=m，∴ QF=，

要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况：

①如图2，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的下方．∴ DQ=DF-QF=．∵，∴ ．整理，得．解得或．经检验，或在的范围内，均符合题意；

②如图3，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的上方．∴DQ=QF-DF= ．∵ ，∴ ．整理，得 ．解得 （舍负）．经检验，在的范围内，符合题意．

综上所述，或或时，△PAQ的面积等于．

考点：1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．旋转的性质．