Question

某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，公司决定组织一次促销活动，促销期间该产品的售价单位y（元）与销售数量x（件）的函数关系如图所示．

（1）求当10≤x≤50时，y与x之间的函数关系式．

（2）设商家一次性购买这种产品m件，开发公司所获得的利润为z元，求z与m之间的函数关系式．

（3）当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，是否存在随着一次性购买数量的增多，公司所获得的利润反而减少这种情况？若存在，求出在这种情况下，m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-10x+3100；（2）；（3）35＜m＜50．

【解析】

试题分析：（1）当10≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，把图象上点的坐标代入，求得k，b的值即可求出解析式；

（2）根据利润=（售价-成本）销售数量，在x不同范围内，非别求出解析式；

（3）利用配方法，找出二次函数的对称轴，根据图象找出m的范围即可．

试题解析：（1）当10≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，

把点（10，3000）、（50，2600）代入解析式得：

，

解得：

，

故当y与x之间的函数关系式y=-10x+3100；

（2）当0＜x＜10时，y=3000，

则z=（y-2400）m=600m

当10≤x≤50时，y=-10m+3100，

则z=（y-2400）m=-10m2+700m；

当x＞50时，y=2600，

则z=（y-2400）m=200m，

故利润z与m的关系式为：

；

（3）当10≤x≤50时，则z=-10m2+700m=-10（m-35）2+12250，

∵-10＜0，故开口向下，

对称轴为m=35，

当35＜m＜50时，图象中随着m的增大，y值减小，

∴存在这种情况，此时35＜m＜50．

考点：二次函数的应用．