Question

（本题满分9分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，

∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证：BF＝2AE；

（2）若CD＝，求AD的长.

Answer

（1）见解析；（2）AD=2+

【解析】

试题分析：（1）根据AD⊥BC，∠BAD=45°，得出AD=BD，∠ADC=∠FDB=90°，根据AD⊥BC，BE⊥AC得出∠CAD=∠CBE，从而得出△ADC和△BDF全等，得出AC=BF，根据AB=BC，BE⊥AC，得出AE=EC，可得BF=2AE；（2）根据△ADC和△BDF全等得出DF=CD=，根据Rt△CDF的勾股定理得出CF=2，得出AF=FC=2，根据AD=AF+DF求出长度.

试题解析：（1）∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.

∵ AD⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o ∴ ∠CAD=∠CBE.

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°， ∴ △ADC≌△BDF. ∴ AC=BF.

∵ AB=BC,BE⊥AC, ∴ AE=EC，即AC＝2AE.∴ BF＝2AE.

（2）∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=. ∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2.

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2. ∴ AD=AF+DF=2+.

考点：三角形全等的证明与性质.