Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线与BC相交于点D，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由．

（3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+x．；（2）△OAD是直角三角形．（3）（5，0）或（5，-15）

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得出点D的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点D的横坐标，从而将点D和点A的坐标代入可得出抛物线的解析式．

（2）分别求出OA、OD、AD的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出△OAD是直角三角形．

（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，利用相似的性质分别得出点P的坐标即可．

试题解析：（1）由题意得，点D的纵坐标为3，

∵点D在直线上，

∴点D的坐标为（9，3），

将点D（9，3）、点A（10，0）代入抛物线可得：

，

解得：

故抛物线的解析式为：y=-x2+x．

（2）∵点D坐标为（9，3），点A坐标为（10，0），

∴OA=10，OD=，AD=，

从而可得OA2=OD2+AD2，

故可判断△OAD是直角三角形．

（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，

此时∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5，

即可得此时点P的坐标为（5，0）

②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，

由题意可得，点M的横坐标为5，代入直线方程可得点M的纵坐标为，

故可求得OM=

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得，

即

解得：MP′=，

又∵点M的纵坐标=，

∴P′N==15，

即可得此时点P′的坐标为（5，-15）

综上可得存在这样的点P，点P的坐标为（5，0）或（5，-15）

考点：二次函数综合题．