Question

如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18．

（1）求证：△PAB∽△PCA；

（2）求证：AP是⊙O的切线．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论；

（2）欲证明AP是⊙O的切线，只需证得∠PAC=90°．

试题解析：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，

∴，

，

∴，

又∵∠APC=∠BPA，

∴△PAB∽△PCA；

（2）∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABP=90°，

又∵△PAB∽△PCA，

∴∠PAC=∠ABP，

∴∠PAC=90°，

∴PA是⊙O的切线．

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．