Question

已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：

（1）∠C=72°，

（2）BD是∠ABC的平分线，

（3）△ABD是等腰三角形，

（4）△BCD∽△ABC，

其中正确的有（  ）

A．4个         B．3个         C．2个             D．1个

Answer

A．

【解析】

试题分析：由AB=AC，∠A=36°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°；再根据垂直平分线的性质得到DA=DB，则△ABD是等腰三角形；于是∠ABD=∠A=36°，可计算出∠CBD=72°-∠ABD=36°，得到BD是∠ABC的平分线，由相似三角形的判定方法可知（4）是正确的．

试题解析：∵AB=AC，∠A=36°

∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，所以（1）正确；

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形，所以（3）正确；

∴∠ABD=∠A=36°，

∴∠CBD=72°-∠ABD=36°，

∴BD是∠ABC的平分线，所以（2）正确．

∵∠C=∠C，∠CBD=36°，∠A=36°，

∴△BCD∽△ABC，所以（4）正确．

所以正确的结论有4个．

故选A．

考点：1．线段垂直平分线的性质；2．相似三角形的判定；3．等腰三角形的判定与性质．