Question

已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．

（1）试说明：∠ACB =∠CED 

（2）若AC=CE ，试求DE的长     

（3）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE，若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）证明见解析；

DE=6cm；

存在，DE=14cm；S△ACE=106.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得∠CED+∠DCE=90°，∠ACB+∠DCE=90°，则可得∠ACB=∠CED；

（2）通过证明△ABC≌CDE即可得证；

（3）存在，通过证明△ABC≌CDE即可得.

试题解析：（1）∵AB//DF，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=90°，∴∠D=90°，∴∠CED+∠DCE=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACB=∠CED；

（2）∵∠B=∠D，∠ACB=∠CED，AC=CE，∴△ABC≌CDE，∴CD=AB=4，DE=BC，∵BD=10，∴BC=BD-CD=6，即DE=6cm；

（3）存在，如图所示，

∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，又∵∠B=∠EDC，AC=CE，∴△ABC≌CDE，∴CD=AB=4，DE=BC，∵BD=10，∴BC=BD+CD=14，即DE=14cm；

∴AC==2，∴S△ACE=AC2=106.

考点：1、三角形全等的判定与性质；2、勾股定理.