Question

（本题满分12分）

【问题情境】

徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC

小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，

连接DE．（如图2）

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3）

请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．

【变式探究】

“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4）

AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．

【迁移拓展】

△ABC中，∠B=2∠C．求证：．（如图5）

Answer

证明见试题解析．

【解析】

试题分析：小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．

由SAS证明△ABD≌△AED，得到BD=DE，∠ABD=∠AED，由∠AED=∠EDC+∠C和∠B=2∠C，得到∠EDC=∠C，从而有 DE=EC，故AB+BD=AC；

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE，则∠E=∠BAE，∠ABC=2∠E，由∠ABC=2∠C，得到∠E=∠C， AE=AC，再证△AED是等腰三角形，得到EA=ED=AC，故AB+BD=AC；

【变式探究】

AB+BD=AC不成立，正确结论：AB+BD=CD，在CD上截取DE=DB，由AD⊥BC，得到 AD是BE的中垂线，故AE=AB，∠B=∠AED，证明∠C=∠CAE，得到 AE=EC，即AB+BD=CD；

【迁移拓展】

过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理得：，，故=（CD－BD）（CD+BD）=BC（CD－BD），由AB+BD=CD ，得到 CD-BD=AB，

故= BC（CD－BD）=BC·AB，即．

试题解析：小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∠ABD=∠AED，又∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，∴∠EDC=∠C，∴ DE=EC，即AB+BD=AC；

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE，则∠E=∠BAE，∴∠ABC=2∠E，∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C，∴AE=AC，∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE，∴△AED是等腰三角形，∴EA=ED=AC，∴AB+BD=AC；

【变式探究】

AB+BD=AC不成立 正确结论：AB+BD=CD，证明如下：

在CD上截取DE=DB，∵AD⊥BC，∴ AD是BE的中垂线，∴AE=AB，∴∠B=∠AED，∵∠AED =∠C+∠CAE，∵∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，∴ AE=EC，即AB+BD=CD；

【迁移拓展】

证明：过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理得：，，∴=（CD－BD）（CD+BD）=BC（CD－BD），∵AB+BD=CD ，∴ CD-BD=AB，∴= BC（CD－BD）=BC·AB，即．

考点：全等三角形的判定与性质．