Question

如图所示，MN是圆O中一条固定的弦，劣弧MN的度数为120⁰，点C是圆O上一个动点（不与M、N重合）。连接MC、NC，D、E分别是NC和MC的中点，直线DE交圆O于点A、B。已知圆O的半径为，那么在点C的运动过程中AE+BD的最小值为                      。

Answer

【解析】

试题解析：【解析】
如下图所示，

∵点D、E分别是NC、MC的中点，

∴点C在劣弧MN的中点时，AB的长度最小，

此时DE＝MN，连接OA、OM，连接OC与MN、AB分别交于点F、G，

∵劣弧MN的度数是120°，

∴∠OMN＝（180°－120°）＝30°，

∵⊙的半径是，

∴OF＝OM＝，MF＝×＝，

∵D、E分别是NC、MC的中点，

∴FG＝（OC－OF）＝＝，

∴OG＝OF＋FG＝＝，

在Rt△AOG中，AG＝＝＝，

∴AE＋BD＝2AG－DE＝2×－＝.

考点：三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是判断出当点C在劣弧MN的中点时AE＋BD的值最小.