Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 45⁰，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.

（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；

（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；

（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；

（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.

Answer

（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．

如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．

由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．

将（0，3）代入得a=﹣1，所以．

（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．

由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即yOM=x，

∴M（1，1）．

连MC得MC=，即半径为．

（3）如图2，

由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，

∵∠B=45°，∠AOB=90°，

∴AO=BO=3，故B点坐标为：（﹣3，0），

再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：

，

解得：，

故BD直线解析式为：，

当x=0，y=，根据对称轴为直线x=1，则y=2，

故F（0，）、E（1，2），

EF===．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．

假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．

如图3，

当∠QCP=45°时，OR=OC=3，

则R点坐标为（0，﹣3），将C，R代入y=ax+b得出：

，

解得：，

这时直线CP的解析式为y=x﹣3，同理可得另一解析式为：y=﹣x+3．

当直线CP的解析式为y=x﹣3时，

则，

解得：，

可求得P（﹣2，﹣5），

故PC==．

设CQ=x，则，

解得：x=或x=15．

∴Q （，0）或（﹣12，0）．

当y=﹣x+3即P与A重合时，CQ=y，则=，

即=，或=，

解得CQ=2或9，

故Q （1，0）或（﹣6，0）．

如图4，

当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，

∴DE=，EC=，

易证：△CDE∽△CHQ，

所以=，

∴HO=．

可求HC的解析式为．

联解，

得P，PC=．

设CQ=x，知，

∴x=或x=，

∴Q或．

同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为．

∴P’ ，

∴PC=

∴，

∴CQ=或，所以Q或．

综上所述，P1（﹣2，﹣5）、Q1（，0）或（﹣12，0）；P2（0，3）、Q2（1，0）或（﹣6，0）；P3、Q3或；P4、Q4或．

【解析】

试题分析：（1）过D作x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式；

（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连MC得MC=，即为半径；

（3）由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，再根据待定系数法求出BD直线解析式，从而得到E，F的坐标，再根据两点坐标公式即可求得EF的长；

（4）先求出直线CP的解析式为y=x﹣3或y=﹣x+3，再分情况讨论求得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似时点P、Q的坐标

考点：二次函数综合题