Question

对于三个数a、b、c，M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：M{－1，2，3}，min{－1，2，3}＝－1；M{－1，2，a}＝，min {－1，2，a}＝

解决下列问题：

（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝________；若min{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围是________；

（2）①若M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，那么x＝________；

②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么________”（填a，b，c大小关系）；

③运用②，填空：若M{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}＝min{2x＋y＋2，x＋2y，2x－y}，则x＋y＝________；

（3）在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝（x－1）²，y＝2－x的图象（不需列表，描点），通过图象，得出min{x＋1，（x－1）²，2－x}最大值为________．

Answer

【解析】
（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=，

如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}==x+1．

法一：∵2x﹣（x+1）=x﹣1．

当x≥1时，

则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，

∴x=1．

当x＜1时，

则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，

∴x=1（舍去）．

综上所述：x=1．

法二：∵M{2，x+1，2x}==x+1=min{2，x+1，2x}，

∴

∴

∴x=1．

②a=b=c．

证明：∵M{{a，b，c}}=，

如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．

则有=c，

即a+b﹣2c=0．

∴（a﹣c）+（b﹣c）=0．

又a﹣c≥0，b﹣c≥0．

∴a﹣c=0且b﹣c=0．

∴a=b=c．

其他情况同理可证，故a=b=c．

③﹣4；

（3）作出图象．最大值是1．

【解析】

试题分析：（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin30°，cos45°，tan30°的值，因为sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；

（2）结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解；

（3）作出正确的图象，是解题的关键

考点：二次函数的图象；解一元一次方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；特殊角的三角函数值