Question

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E．

（1）求证：△AED≌△CEB′；

（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；

（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长．

Answer

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°

∵∠B′EC=∠DEA，

在△AED和△CEB′中，

∴△AED≌△CEB′（AAS）；

（2）∵△AED≌△CEB′，

∴EA=EC，

∴点E在线段AC的垂直平分线上．

（3）阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，

=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，

=AD+DC+AB′+B′C，

=3+8+8+3

=22．

【解析】

试题分析：（1）根据折叠和矩形性质可得B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∠B′EC=∠DEA，由AAS可得△AED≌△CEB′；（2）由（1）可得EA=EC，∴点E在线段AC的垂直平分线上；（3）阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，代入数据可得.

考点：折叠问题、三角形全等的判定、线段垂直平分线性质