Question

如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

Answer

（1）k=8；（2）15;（3） P坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

【解析】

试题分析：（1）将x=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AAOC面积=三角形COD面积+梯形AEDC面积-三角形AOE面积，求出即可；

（3）设P（x，），即OM=x，PM=，分四种情况考虑：若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，由四边形APBQ面积为24，且为平行四边形，得到三角形AOP面积为6，根据三角形POM面积+梯形ANMP面积-三角形AON面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出此时P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P坐标即可；若P在A的右侧，同理可得P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P的坐标．

试题解析：（1）将x=4代入y=x=2，即A（4，2），

将A（4，2）代入反比例解析式得：k=8；

（2）过C作CD⊥x轴，作AE⊥x轴，

将y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），

∴OD=1，CD=8，

∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，

∵S△AOC=S△COD+S梯形AEDC-S△AOE=×1×8+×（2+8）×3-×4×2=15；

（3）设P（x，），即OM=x，PM=，

若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，

∵由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，OP=OQ，OA=OB，即四边形APBQ为平行四边形，

∴S△AOP=S△POM+S梯形ANMP-S△AON=×24=6，

即x•+×（4-x）×（2+）-4=6，

解得：x=2，即P（2，4）；

若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P（-2，-4）；

若P在A的右侧，同理可得4+×（x-4）×（2+）-4=6，

解得：x=8，此时P坐标为（8，1）；

若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P坐标为（-8，-1），

综上，P坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

考点：反比例函数综合题．