Question

如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB=EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；

（2）若AB=3，AC=5，求AF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

试题分析：已知AE平分∠CAD，EF⊥AC，EG⊥AD及公共边AE，则利用AAS判定△EGA≌△EFA；由△EGA≌△EFA可得到EG=EF，AG=AF，根据HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC，从而得到BG=CF，整理可得到2AF=AC-AB，从而可求得AF的长．

试题解析：（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）．

证明：∵AE平分∠CAD，

∴∠EAG=∠EAF．

又∵EF⊥AC，EG⊥AD，

∴∠EGA=∠EFA=90°．

在△AEG和△EFA中：

∠EAG=∠EAF，∠EGA=∠EFA，AE=AE，

∴△EGA≌△EFA（AAS）．

（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD，

∴EG=EF，∠EGB=∠EFC=90°．

在Rt△EGB和Rt△EFC中

．

∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）．

∴BG=CF．

又∵BG=AB+AG，CF=AC-AF，

即AB+AG=AC-AF，

又∵△EGA≌△EFA，

∴AG=AF．

∴2AF=AC-AB=5-3=2．

∴AF=1．

考点：全等三角形的判定与性质．