Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，

求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：先作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，证出BE=AF，OE=OF，再证Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．

证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，

∵O是△ABC的外心，

∴OE=OF，OB=OA，

由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，

∴BE=AF，

∵AP=BQ，

∴PF=QE，

∵OE⊥AB，OF⊥AC

∴∠OFP=∠OEQ=90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OQE，

∴∠P=∠Q，

∴O、A、P、Q四点共圆．

即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．