Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为（  ）

A.a：b：c    B.    C.cosA：cosB：cosC    D.sinA：sinB：sinC

Answer

C

【解析】

试题分析：此题可分别过三角形的三个顶点作⊙O的直径，在构建的直角三角形中，根据圆周角定理和三角形中位线定理来求得三条弦心距的比例关系．

【解析】
如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；

∵AG是⊙O的直径，

∴∠ABG=90°；

∵OD⊥AB，

∴OD∥BG；

又∵O是AG的中点，

∴OD是△ABG的中位线，即BG=2OD；

Rt△ABG中，∠G=∠C，

∴BG=AG•cosG=2R•cosC；

∴OD=R•cosC，即O到AB边的距离为R•cosC；

同理可证得：OE=R•cosA，OF=R•cosB；

∴点O到三边的距离之比为：（R•cosA）：（R•cosB）：（R•cosC）=cosA：cosB：cosC；

故选C．