Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，﹣2）．直线OM是一次函数y=x的图像．让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．

（1）填空

①直线OM与x轴所夹的锐角度数为         °；

②当t=                       时，⊙A与坐标轴有两个公共点；

（2）当t＞3时，求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的t的值；

（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦长为1时，求t的值．

Answer

（1）①45°；②t＝1或2或3时⊙A与坐标轴有两个交点；

（2）t＝；（3）t＝或t＝.

【解析】

试题解析：【解析】
（1）①直线OM与x轴所夹的锐角度数是45°；

②当点A的坐标是（1，－1）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝1；

当点A的坐标是（1，0）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝2；

当点A的坐标是（1，1）时⊙A与坐标轴有两个交点，此时t＝3；

所以t＝1或2或3时⊙A与坐标轴有两个交点；

（2）如下图所示，当t＝3时，点A的坐标是（1，1），

⊙A与直线OM相交，

所以当t＞3时，⊙A在直线OM上方，

如果⊙A相切，

则AB＝1，

因为直线OM与x轴的夹角是45°，

所以∠ACB＝45°，

点C的坐标是（1，1），

所以BC＝1，

则有AC＝＝，

所以运动的时间是t＝；

（3）如下图所示，当点A在x轴下方时，

过点A作AB⊥y轴于B，AC⊥OM于C，交x轴于点Q，AH⊥x轴于点H，

⊙A与直线OM交于E、F，

则AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等边三角形，

∴AC＝AE＝，

∵直线OM与x轴的夹角是45°，

∴△OCQ与△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝AH＝2－t，

∴OQ＝OH－HQ＝t－1，AQ＝ ，

∴CQ＝OQ＝，

∵AC＝CQ＋AQ，

∴，

∴t＝ ；

当点A在x轴上方时，如下图所示，过点A作AB⊥y轴于B，AC⊥OM于C，

过点A作 AH⊥x轴于点H，交直线OM于点Q，

⊙A与直线OM交于E、F，

则AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等边三角形，

∴AC＝，

∵直线OM与x轴的夹角是45°，

∴△OCQ与△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝OH＝1，

AQ＝AC＝＝，

∵AH＝HQ＋AQ，

∴，

∴t＝

∴t＝或t＝.

考点：圆的综合题

点评：本题主要考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，本题难度较大综合性较强，在解决本题时应注意分类讨论.