Question

（本题满分12分）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据   ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若       ，则△ABC≌△DEF．

Answer

（1）HL；（2）略；（3）略；（4） ∠B＞∠A时，△ABC≌△DEF.

【解析】

试题解析：（1）【解析】
当∠B、∠E是直角时，

∵AC、DF是直角三角形的斜边，BC、EF是直角三角形的直角边，

∴根据HL可以证明△ABC≌△DEF；

（2）证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，

过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠B＝∠E，

∴180°－∠B＝180°－∠E，

∴∠CBG＝∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

，

∴△CBG≌△FEH，

∴CG＝FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH，

∴∠A＝∠D，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF；

（3）作图如下，

△ABC与△DEF不全等；

（4）当∠B＞∠A时，△ABC≌△DEF.

考点：全等三角形的判定

点评：本题主要考查了全等三角形的判定.全等三角形的判定方法有：边边边、边角边、角边角、角角边，直角三角形全等判定方法有HL；在证明三角形全等时应注意对应相等的条件之间的位置关系.