Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（  ）

AD是∠BAC的平分线；  

②∠ADC=60°；    

③点D在AB的中垂线上；

④S_△DAC：S_△ABC=1：3．

A．1      B．2      C．3      D．4

Answer

D

【解析】

试题解析：【解析】
根据作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确；

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=30°，

∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝60°，

故②正确；

∵∠BAD＝∠B，

∴AD＝BD，

∴点D在线段AB的垂直平分线上，

故③正确；

∵∠CAD=30°，

∴AD＝2CD，

∵AD＝BD，

∴BD＝2CD，

∴BC＝3CD，

∴S△DAC：S△ABC=1：3，

故④正确.

所以正确的有4个，故应选D.

考点：角平分线的性质、线段的垂直平分线

点评：本题主要考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.