Question

（本题8分）已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点．

（1）如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；

（2）如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．

（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer

【解析】
（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）．

（2）如图2，作CM⊥y轴，

∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，

∠OBA+∠BAO=90°，

在△CMB和△BOA中，

∴△CMB≌△BOA（AAS），

∴CM=BO，AO=BM，

∵点C的纵坐标为3，

∴MO=3，

∴CM=BO=BM-MO=5-3=2，

∵CM⊥y轴，

∴△BDO∽△BCM，

∴，

即DO=

故点D的坐标为

（3）如图3，作EN⊥y轴于N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中

，

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，

∴，

.

【解析】

试题分析：（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．

（2）作CM⊥y轴于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到各边长，然后由△BDO∽△BCM得到DO的长度，继而得到点D坐标；

（3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出，即可得出答案．

考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形.