Question

（本题9分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其两点间的距离，

同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x₂－x₁|或|y₂－y₁|．

（1）已知A（2，4）、B（－3，－8），试求A、B两点间的距离；

（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为－1，试求A、B两点间的距离；

（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（－2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；

（4）平面直角坐标中，在x轴上找一点P,使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．

Answer

【解析】
（1）∵A（2，4）、B（-3，-8），

∴；

（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为-1，

∴AB=|4-（-1）|=5；

（3）△DEF为等腰三角形，理由为：

∵D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），

，，，即DE=DF，则△DEF为等腰三角形；

（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，

设直线DF′解析式为y=kx+b，

将D（1，6），F′（4，-2）代入得：，

解得：，

∴直线DF′解析式为，

令y=0，得：，即，

∵PF=PF′，

∴PD+PF=DP+PF′=DF′=，

则PD+PF的长度最短时点P的坐标为，此时PD+PF的最短长度为.

【解析】

试题分析：（1）根据阅读材料中的A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出A与B的距离即可；

（2）根据两点在平行于y轴的直线上，根据A与B的纵坐标求出AB的距离即可；

（3）由三顶点坐标求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形形状；

（4）找出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于P点，此时PD+PF最短，设直线DF′的解析式为y=kx+b，将D与F′的坐标代入求出k与b的值，确定出直线DF′解析式，令y=0求出x的值，确定出P坐标，由D与F′坐标，利用两点间的距离公式求出DF′的长，即为PD+PF的最短长度．

考点：一次函数综合题.